#author("2024-03-19T13:56:08+09:00","default:admin","admin") [[トップに戻る>YamagishiWiki]] *至る所微分不可な連続関数 [#j01bb47e] どんどん細かくなるsin関数を重ねていくと、各点は有限の値に収束して連続関数になるが、~ ギザギザがどんどん細かくなるので微分が発散する(各点での接線の振動が発散する)~ 数学には面白い不思議なことが多々あるが、これが一番わかりやすいものかも~ [[ワイエルシュトラウス関数(Wikipedia)>https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9%E9%96%A2%E6%95%B0]] *測度0の図形 [#w8643b7d] -ペアノ曲線: 分割した正方形の中心を通るようにした連続曲線(折れ線?)^ 至る所に存在して、言ってみれば鉛筆で塗りたくった状態だが、線なので測度(面積)は0のまま。 -有理数全体: 見えないけれど数直線上の有理数全体も測度0。どこにでもあるので描くと真っ黒だけれど・・・ -3進数表現での1抜き: 3進法で表現して、0,1,2 で小数展開して、1が出てきたらそこを削る・・・と残りは測度0になる。 ~ (0,1)x(0,1)の正四角形の面積で考えると、まず小数点以下1桁目で 1がでてくるところの面積は 1/3 ~ 皿の真ん中が無いイメージ~ 続けて2桁目で 0.01・・・ と 0.21・・・ が排除。 これは 1/3 * 1/3 + 1/3 * 1/3 = 2/9 ~ で計算すると削った面積の合計が極限では1になり残りが 0 になる~ 3進数表現と2進数表現で1:1になるので、そのまま測度1に全単射可能(しかも大小関係も維持されている)~ ・・・ このあたりになると脳みそがわいてきそう *長さはいくつ? [#oc5a2d1f] 正三角形を真ん中で折ると 高さが半分のWを伏せた形になる~ 底辺は1、Wの部分は2の長さ ΔΔ ~ これを繰り返すと山の高さはどんどん小さくなるけれど、底辺と山形の長さは1と2のまま~ で、これを極限まで実行すると長さがどうなるのか・・・~ というのがフラクタルや次元論の始まりらしいけれど *対角線論法 [#c0e6165c] 実数が加算無限より多いというカントールの証明~ 有理数など加算無限はパラパラという感じで測度0のまま~ それに対して、実数は無限小の巾がねとっと張り付いている感じ~ このねとっという部分が長さや測度を生んでいると思っている